1) Respostas sobre a definição formal da Máquina de Turing
a) Uma máquina de Turing pode alguma vez escrever o símbolo branco na sua fita?
Sim, a Máquina de Turing pode escrever o símbolo branco (ou símbolo de vazio) na fita. O símbolo branco é geralmente usado para indicar que uma célula na fita não contém nenhum valor significativo. Em muitas implementações de máquinas de Turing, o símbolo branco pode ser usado para apagar informações previamente gravadas, ou para marcar o fim de uma operação de leitura e escrita.
b) O alfabeto de fita pode ser o mesmo que o alfabeto de entrada?
Sim, o alfabeto de fita pode ser o mesmo que o alfabeto de entrada, mas isso não é uma exigência. O alfabeto de entrada geralmente contém um conjunto de símbolos específicos que a máquina pode ler como entrada. O alfabeto de fita pode incluir esses símbolos, mas também pode incluir símbolos adicionais como o símbolo branco ou outros usados para manipulação de dados durante o processamento.
c) A cabeça de uma máquina de Turing pode alguma vez estar na mesma localização em dois passos sucessivos?
Sim, a cabeça de uma Máquina de Turing pode estar na mesma localização em dois passos sucessivos. Isso ocorre quando a função de transição especifica que a cabeça deve permanecer na mesma célula após ler um símbolo, ou seja, a máquina pode não se mover dependendo da transição definida.
d) Uma máquina de Turing pode conter apenas um único estado?
Sim, uma Máquina de Turing pode ter apenas um único estado, embora essa não seja uma máquina útil em termos práticos. Com um único estado, a máquina seria limitada a fazer uma única ação para cada símbolo lido, o que limita sua capacidade de computação. No entanto, a definição formal de uma máquina de Turing não impõe restrições no número de estados, desde que o conjunto de transições seja bem definido.
2) Arquitetura da Máquina de Turing
A Máquina de Turing é composta por:
- Fita infinita: A fita é a memória da máquina, podendo conter símbolos de um alfabeto. A fita pode ser movida para a esquerda ou direita conforme a máquina processa a entrada.
- Cabeça de leitura/escrita: A cabeça lê ou escreve símbolos na fita e pode se mover para a esquerda ou para a direita.
- Estado atual: A máquina pode estar em um número finito de estados. O estado define as regras de transição.
- Função de transição: A função de transição determina o próximo estado e as ações (como escrever um símbolo e mover a cabeça) com base no símbolo lido na fita e no estado atual.
A Máquina de Turing realiza cálculos com base nessas operações e transições, podendo simular qualquer algoritmo computacional.
3) Esquema explicando o funcionamento de uma Máquina de Turing
Aqui está um esquema básico do funcionamento de uma Máquina de Turing:
- Entrada: A máquina recebe uma sequência de símbolos (por exemplo, números binários) na fita.
- Processamento: A cabeça de leitura/escrita lê o símbolo na posição atual, consulta a função de transição e decide qual ação tomar.
- A máquina pode escrever um novo símbolo na célula.
- A cabeça pode mover-se para a esquerda ou para a direita.
- A máquina pode mudar de estado.
- Saída: A máquina termina a operação quando um estado de aceitação ou rejeição é alcançado, produzindo a sequência final na fita.
4) Diagrama de estados de uma máquina de Turing que soma 1 em sequência de inteiros binários (de 000 a 111)
A Máquina de Turing que soma 1 em números binários de 3 bits (de 000 a 111) pode ser representada como segue:
Diagrama de estados:
-
Estado inicial (q0): Lê o primeiro bit da esquerda.
- Se for 0, vai para o próximo bit (transição para q1).
- Se for 1, muda para q2, invertendo o bit (fazendo a soma).
-
Estado q1: Se o próximo bit for 0, ele será alterado para 1 e a máquina termina (transição para q_accept).
-
Estado q2: Continuar a somar os bits para garantir o carry.
5) Máquina de Turing que calcula o sucessor de 111101
- Entrada: 111101
- Saída: 111110
- Estados de Transição:
- Comece lendo o último bit (posição mais à direita).
- Se for 0, escreva 1 e termine.
- Se for 1, escreva 0 e mova-se para o próximo bit à esquerda, repetindo o processo até encontrar 0.
6) Máquina de Turing que aceita números binários e altera conforme a paridade
A máquina faz o seguinte:
- Se o número binário for ímpar, subtrai 1.
- Se o número for par, adiciona 1.
Casos de Teste:
- Entrada: 101 (impar) → Saída: 100
- Entrada: 1010 (par) → Saída: 1011
Estados de Transição:
- Leia o bit mais à direita.
- Se for 1 (impar), subtraia 1 (transição para a célula anterior e altere o valor).
- Se for 0 (par), adicione 1.
Referência:
- Hopcroft, J., Motwani, R., & Ullman, J. (2001). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Pearson Education.